Outoregressiewe bewegende gemiddelde c ++

Outoregressiewe bewegende gemiddelde ARMA (p, q) Modelle vir Tydreeksanalise - Deel 2 Deur Michael Saal-Moore op 24 Augustus 2015 in Deel 1 beskou ons die outoregressiewe model van orde p, ook bekend as die AR (p) model. Ons lei dit as 'n uitbreiding van die ewekansige loop model in 'n poging om bykomende reeks korrelasie in finansiële tydreekse verduidelik. Uiteindelik het ons besef dat dit was nie buigsaam genoeg om werklik al die outokorrelasie te vang in die laaste pryse van Amazon Inc. (AMZN) en die SampP500 VSA Equity Index. Die primêre rede hiervoor is dat beide van hierdie bates is voorwaardelik heteroskedastic. wat beteken dat hulle nie-stasionêre en het tydperke van wisselende variansie of wisselvalligheid groepering, wat nie in ag geneem word deur die AR (p) model geneem. In toekomstige artikels sal ons uiteindelik opbou tot die outoregressiewe geïntegreerde bewegende gemiddelde (ARIMA) modelle, asook die voorwaardelik heteroskedastic modelle van die boog en GARCH families. Hierdie modelle sal ons met ons eerste realistiese pogings tot vooruitskatting batepryse. In hierdie artikel, maar ons gaan die bewegende gemiddelde van orde q model, bekend as MA (Q) bekend te stel. Dit is 'n komponent van die meer algemene ARMA model en as sulks het ons nodig het om dit te verstaan ​​voordat verdere beweeg. Ek raai jy die vorige artikels gelees in die Tydreeksanalise versameling as jy dit nog nie gedoen. Hulle kan al hier gevind word. Bewegende gemiddelde (MA) Models van orde q Rasionaal 'n bewegende gemiddelde model is soortgelyk aan 'n outoregressiewe model, behalwe dat in plaas daarvan om 'n lineêre kombinasie van die verlede tyd reeks waardes, dit is 'n lineêre kombinasie van die afgelope wit geraas terme. Intuïtief, beteken dit dat die MA model sien soos ewekansige wit geraas skokke direk by elke huidige waarde van die model. Dit is in teenstelling met 'n AR (p) model, waar die wit geraas skokke slegs indirek gesien. via regressie op vorige terme van die reeks. 'N Belangrike verskil is dat die MA-model net ooit sal sien die laaste Q skokke vir 'n spesifieke MA (Q) model, terwyl die AR (p) model al voor skokke in ag sal neem, al is dit in 'n decreasingly swak wyse. Definisie Wiskundig die MA (Q) is 'n lineêre regressiemodel en is insgelyks gestruktureer om AR (p): Moving Gemiddelde Model van orde q 'n tydreeksmodel, is 'n bewegende gemiddelde model van orde q. MA (Q), indien: begin xt wt beta1 w ldots betaq w end Waar is wit geraas met E (WT) 0 en variansie sigma2. As ons kyk na die agterste Shift-operateur. (Sien 'n vorige artikel) dan kan ons herskryf bogenoemde as 'n funksie phi van: begin xt (1 beta1 beta2 2 ldots betaq Q) wt phiq () wt einde Ons sal gebruik maak van die phi-funksie in die latere artikels te maak. Tweede Orde Properties Soos met AR (p) die gemiddelde van 'n MA (Q) proses is nul. Dit is maklik om te sien as die gemiddelde is bloot 'n som van middel van wit geraas terme, wat al self nul is. begin teks enspace MUX E (xt) som E (Wi) 0 einde begin teks enspace sigma2w (1 beta21 ldots beta2q) einde teks enspace rhok links 1 teks enspace k 0 som betai beta / sumq beta2i teks enspace k 1, ldots, Q 0 teks enspace k GT Q einde reg. Waar beta0 1. Was nou gaan 'n paar gesimuleerde data te genereer en gebruik dit om correlograms skep. Dit sal die formule hierbo vir rhok ietwat meer beton. Simulasies en Correlograms MA (1) Kom ons begin met 'n MA (1) proses. As ons 'beta1 0.6 verkry ons die volgende model: Soos met die AR (p) modelle in die vorige artikel kan ons R te gebruik om so 'n reeks te boots en dan trek die correlogram. Sedert weve het 'n baie oefening in die vorige Tydreeksanalise artikel reeks van die uitvoering van erwe, sal ek die R-kode skryf ten volle, eerder as om te verdeel dit: Die produksie is soos volg: Soos ons hierbo gesien het in die formule vir rhok , vir k GT Q, al outokorrelasies moet nul wees. Sedert Q 1, moet ons 'n beduidende hoogtepunt op k1 en dan onbelangrik pieke na daardie sien. As gevolg van steekproefneming vooroordeel ons moet verwag om 5 (effens) beduidende pieke sien op 'n monster outokorrelasie plot. Dit is presies wat die correlogram wys vir ons in hierdie geval. Ons het 'n beduidende hoogtepunt op k1 en dan onbelangrik pieke vir k GT 1, behalwe by K4 waar ons 'n effens beduidende piek. Trouens, dit is 'n nuttige manier om te sien of 'n MA (Q) model toepaslik is. Deur die neem van 'n blik op die correlogram van 'n bepaalde reeks kan ons sien hoeveel opeenvolgende nie-nul lags bestaan. As Q so lags bestaan ​​dan kan ons tereg probeer om 'n MA (Q) model geskik is om 'n bepaalde reeks. Aangesien ons bewyse uit ons gesimuleerde data van 'n MA (1) proses, is nou van plan om te probeer en pas 'n MA (1) model vir ons gesimuleerde data. Ongelukkig is daar isnt 'n ekwivalente ma opdrag om die outoregressiewe model ar opdrag in R. In plaas daarvan, moet ons die meer algemene ARIMA opdrag gebruik en stel die outoregressiewe en geïntegreerde komponente aan nul. Ons doen dit deur die skep van 'n 3-vektor en die opstel van die eerste twee komponente (die autogressive en geïntegreerde parameters, onderskeidelik) na nul: Ons ontvang 'n paar nuttige uitset van die ARIMA opdrag. Eerstens, kan ons sien dat die parameter is beraam as hoed 0,602, wat baie naby aan die werklike waarde van beta1 0.6. In die tweede plek is die standaard foute reeds bereken vir ons, maak dit maklik om vertrouensintervalle bereken. Derdens, ontvang ons 'n geskatte variansie, log-waarskynlikheid en Akaike Inligting Criterion (wat nodig is vir model vergelyking). Die groot verskil tussen ARIMA en ar is dat ARIMA skat 'n onderskepdrie termyn omdat dit nie die gemiddelde waarde van die reeks af te trek. Vandaar ons nodig het om versigtig te wees wanneer die uitvoering van voorspellings met behulp van die ARIMA opdrag. Wel later terug te keer na hierdie punt. As 'n vinnige check op pad was om vertrouensintervalle vir hoed bereken: Ons kan sien dat die 95 vertrouensinterval bevat die ware parameter waarde van beta1 0.6 en daarom het ons die model kan oordeel 'n goeie passing. Dit is duidelik dat hierdie moet verwag word, aangesien ons die data nageboots in die eerste plek Hoe dinge verander as ons die teken van beta1 om -0,6 verander Kom dieselfde analise uit te voer: Die produksie is soos volg: Ons kan sien dat by k1 ons het 'n beduidende hoogtepunt in die correlogram, behalwe dat dit toon negatiewe korrelasie, as wed verwag van 'n MA (1) model met negatiewe eerste koëffisiënt. Weereens al pieke buite k1 is onbelangrik. Kom ons pas 'n MA (1) model en skat die parameter: hoed -0,730, wat is 'n klein onderskat van beta1 -0,6. Ten slotte, kan bereken die vertroue interval: Ons kan sien dat die ware parameter waarde van beta1-0.6 is vervat in die 95 vertrouensinterval, die verskaffing van ons met bewyse van 'n goeie model pas. MA (3) Kom ons loop deur dieselfde prosedure vir 'n MA (3) proses. Hierdie keer moet ons beduidende hoogtepunte op k verwag, en onbelangrik pieke vir k GT 3. Ons gaan die volgende koëffisiënte gebruik: beta1 0.6, beta2 0.4 en beta3 0.2. Kom na te boots 'n MA (3) proses van hierdie model. Ive het die aantal ewekansige monsters tot 1000 in hierdie simulasie, wat dit makliker maak om die ware outokorrelasie struktuur sien, ten koste van die maak van die oorspronklike reeks moeiliker om te interpreteer: Die produksie is soos volg: Soos verwag die eerste drie pieke is beduidende . Maar so is die vierde. Maar ons kan tereg daarop dui dat hierdie mag wees as gevolg van steekproefneming vooroordeel soos ons verwag om te sien 5 van die pieke wat beduidende buite KQ. Kom nou pas 'n MA (3) model om die data te probeer en skatting parameters: Die skattings hoed 0,544, hoed 0,345 en hoed 0,298 is naby aan die ware waardes van beta10.6, beta20.4 en beta30.3, onderskeidelik. Ons kan produseer ook vertrouensintervalle gebruik van die onderskeie standaard foute: In elk geval nie die 95 vertrouensintervalle die ware parameter waarde bevat en kan ons aflei dat ons 'n goeie passing met ons MA (3) model, soos verwag kan word. Finansiële inligting in Deel 1 beskou ons Amazon Inc. (AMZN) en die SampP500 VSA Equity Index. Ons toegerus die AR (p) model vir beide en gevind dat die model nie in staat was om effektief te vang die kompleksiteit van die reeks korrelasie, veral in die rolverdeling van die SampP500, waar langtermyn-geheue effekte blyk teenwoordig te wees. Ek sal nie stip die kaarte weer vir die pryse en outokorrelasie, in plaas Siek verwys u na die vorige post. Amazon Inc. (AMZN) Kom ons begin deur te probeer om 'n seleksie van MA (Q) pas modelle om AMZN, naamlik met Q in. Soos in Deel 1, goed gebruik quantmod om die daaglikse pryse vir AMZN aflaai en dan sit hulle in 'n log opbrengste stroom sluitingstyd pryse: Noudat ons die log opbrengste stroom kan ons die ARIMA opdrag gebruik om in te pas MA (1), MA (2) en MA (3) modelle en dan skat die parameters van elke. Vir MA (1) ons het: Ons kan die residue van die daaglikse log opbrengste en die toegeruste model plot: Let daarop dat ons 'n paar beduidende hoogtepunte op lags k2, K11, K16 en k18, wat aandui dat die MA (1) model is onwaarskynlik dat 'n goeie passing vir die gedrag van die AMZN log opbrengste wees, aangesien dit lyk nie soos 'n verwesenliking van wit geraas. Kom ons probeer 'n MA (2) model: Beide van die skattings vir die beta koëffisiënte is negatief. Kom ons plot die residue weer: Ons kan sien dat daar byna nul outokorrelasie in die eerste paar lags. Ons het egter vyf effens beduidende hoogtepunte op lags K12, K16, K19, k25 en K27. Dit is suggestief dat die MA (2) model is die opneem van 'n groot deel van die outokorrelasie, maar nie almal van die lang-geheue effekte. Hoe gaan dit met 'n MA (3) model Weereens, kan ons die residue Plot: Die MA (3) residue plot lyk byna identies aan dié van die MA (2) model. Dit is nie verbasend nie, as 'n nuwe parameter is die toevoeging van 'n model wat skynbaar weg verduidelik baie van die korrelasies met korter lags, maar dit sal nie veel van 'n uitwerking op die langer termyn loop. Al hierdie getuienis is suggestief van die feit dat 'n MA (Q) model is onwaarskynlik handig al die korrelasie in isolasie te wees. ten minste vir AMZN. SampP500 As jy onthou, in Deel 1 het ons gesien dat die eerste orde differenced daaglikse log opbrengste struktuur van die SampP500 besit baie beduidende pieke op verskillende lags, beide kort en lang. Dit verskaf bewyse van beide voorwaardelike heteroskedasticity (dit wil sê wisselvalligheid groepering) en langtermyn-geheue effekte. Dit lei ons tot die gevolgtrekking dat die AR (p) model onvoldoende is om al die outokorrelasie teenwoordig te vang was. Soos weve bo die MA (Q) model gesien was onvoldoende om bykomende reeks korrelasie in die residue van die toegeruste model om die eerste orde vang differenced daaglikse log prys reeks. Ons sal nou probeer om die MA (Q) model om die SampP500 pas. Mens kan vra waarom ons doen dit as ons weet dat dit is onwaarskynlik dat 'n goeie passing wees. Dit is 'n goeie vraag. Die antwoord is dat ons nodig het om te sien presies hoe dit is nie 'n goeie passing, want dit is die uiteindelike proses sal ons volgende wanneer ons teëkom baie meer gesofistikeerd modelle, wat potensieel moeiliker om te interpreteer. Kom ons begin deur die verkryging van die data en dit na 'n eerste orde differenced reeks logaritmies getransformeer daaglikse sluitingspryse soos in die vorige artikel: Ons gaan nou 'n MA (1), MA (2) en MA (3) model aan te pas die reeks, soos ons hierbo gedoen het vir AMZN. Kom ons begin met MA (1): Kom ons maak 'n plot van die residue van hierdie toegeruste model: Die eerste beduidende piek plaasvind op k2, maar daar is baie meer aan k in. Dit is duidelik nie 'n besef van wit geraas en so moet ons die MA (1) model as 'n potensiële goeie passing vir die SampP500 verwerp. Maak die situasie te verbeter met MA (2) Weereens, kan 'n plot van die residue van hierdie toegeruste MA (2) model: Terwyl die piek by K2 verdwyn (soos wed verwag), is ons nog steeds links met die beduidende hoogtepunte op baie meer lags in die residue. Weereens, vind ons die MA (2) model is nie 'n goeie passing. Ons moet verwag nie, want die MA (3) model, minder korrelasie by K3 as vir die MA (2) te sien, maar ons moet ook verwag weereens geen vermindering in verdere lags. Ten slotte, kan 'n plot van die residue van hierdie toegeruste MA (3) model: Dit is presies wat ons sien in die correlogram van die residue. Vandaar die MA (3), met die ander modelle hierbo, is nie 'n goeie passing vir die SampP500. Volgende stappe Weve nou ondersoek twee groot tydreeksmodelle in detail, naamlik die Autogressive model van orde p, AR (p) en dan bewegende gemiddelde van orde q, MA (Q). Weve gesien dat hulle is albei in staat te verduidelik weg van die outokorrelasie in die residue van eerste orde differenced daaglikse log pryse van aandele en indekse, maar wisselvalligheid groepering en langtermyn-geheue effek voortduur. Dit is uiteindelik tyd om ons aandag te draai na die kombinasie van hierdie twee modelle, naamlik die outoregressiewe bewegende gemiddelde van orde p, q, ARMA (p, q) om te sien of dit die situasie verder sal verbeter. Ons sal egter moet wag tot die volgende artikel vir 'n volledige bespreking Michael Saal-Moore Mike is die stigter van QuantStart en is betrokke by die kwantitatiewe finansiële sektor vir die afgelope vyf jaar, in die eerste plek as 'n quant ontwikkelaar en later as 'n quant handelaar konsultasie vir verskansing funds. Autoregressive bewegende gemiddelde ARMA (p, q) modelle vir Tydreeksanalise - Deel 1 Deur Michael Saal-Moore op 17 Augustus 2015 In die laaste artikel kyk ons ​​na willekeur vlakke en wit geraas as 'n basiese tydreeksmodelle vir sekere finansiële instrumente, soos daaglikse gelykheid en regverdigheid indeks pryse. Ons het gevind dat in sommige gevalle 'n ewekansige loop model onvoldoende is om die volle outokorrelasie gedrag van die instrument, wat meer gesofistikeerde modelle motiveer vang was. In die volgende paar artikels gaan ons drie tipes model, naamlik die outoregressiewe (AR) model van orde p bespreek, die bewegende gemiddelde (MA) model van orde q en die gemengde Autogressive bewegende gemiddelde (ARMA) model van orde p , q. Hierdie modelle sal ons help om te probeer om op te vang of meer van die reeks korrelasie teenwoordig te verduidelik in 'n instrument. Uiteindelik sal hulle ons te voorsien met 'n manier om te voorspel die toekoms pryse. Dit is egter bekend dat finansiële tydreekse beskik oor 'n eiendom bekend as wisselvalligheid groepering. Dit wil sê, die wisselvalligheid van die instrument is nie konstant in tyd. Die tegniese term vir hierdie gedrag is bekend as voorwaardelike heteroskedasticity. Sedert die AR, MA en ARMA modelle is nie voorwaardelik heteroskedastic, dit is, hulle dit nie in ag neem wisselvalligheid groepering, sal ons uiteindelik moet 'n meer gesofistikeerde model vir ons voorspellings. Sulke modelle sluit in die Autogressive Voorwaardelike Heteroskedastic (Arch) model en algemene Autogressive Voorwaardelike Heteroskedastic (GARCH) model, en die vele variante daarvan. GARCH is veral bekend in Quant finansies en is hoofsaaklik gebruik word vir finansiële tydreekse simulasies as 'n middel van die beraming van die risiko. Maar soos met alle QuantStart artikels, ek wil op te bou tot hierdie modelle uit eenvoudiger weergawes, sodat ons kan sien hoe elke nuwe variant verander ons voorspellende vermoë. Ten spyte van die feit dat AR, MA en ARMA is relatief eenvoudig tydreeksmodelle, hulle is die basis van meer ingewikkeld modelle soos die outoregressiewe geïntegreerde bewegende gemiddelde (ARIMA) en die GARCH familie. Daarom is dit belangrik dat ons dit bestudeer. Een van ons eerste handel strategieë in die tydreeks artikel reeks sal wees om ARIMA en GARCH kombineer ten einde pryse N tydperke voorspel vooruit. Ons sal egter moet wag tot weve beide ARIMA en GARCH bespreek afsonderlik voordat ons toe te pas op 'n ware strategie Hoe sal ons voortgaan In hierdie artikel gaan ons 'n paar nuwe tydreekse konsepte wat goed nodig vir die res van die metodes uiteen, naamlik streng stasionariteit en die Akaike inligting maatstaf (AIC). Na afloop van hierdie nuwe konsepte sal ons die tradisionele patroon vir die bestudering van nuwe tydreeksmodelle volg: Rasionaal - Die eerste taak is om 'n rede waarom belangstel in 'n bepaalde model was, as kwantitatiewe voorsien. Hoekom is ons die bekendstelling van die tydreeksmodel Watter gevolge kan dit vang Wat doen ons kry (of verloor) deur die byvoeging van ekstra kompleksiteit Definisie - Ons moet die volle wiskundige definisie (en gepaardgaande notasie) van die tydreeksmodel te voorsien ten einde te verminder enige dubbelsinnigheid. Tweede Orde Properties - Ons sal bespreek (en in sommige gevalle lei) die tweede orde eienskappe van die tydreeksmodel, wat sy gemiddelde, sy stryd en sy outokorrelasie funksie sluit. Correlogram - Ons sal die tweede orde eienskappe te gebruik om 'n correlogram van 'n besef van die tydreeksmodel plot ten einde sy gedrag te visualiseer. Simulasie - Ons sal simuleer realisasies van die tydreeksmodel en dan pas die model om hierdie simulasies te verseker ons het akkurate implementering en verstaan ​​die gepaste proses. Real finansiële inligting - Ons sal pas by die tydreeksmodel werklike finansiële data en kyk na die correlogram van die residue om te sien hoe die model is verantwoordelik vir korrelasie in die oorspronklike reeks. Voorspelling - Ons sal N-stap vorentoe te skep voorspellings van die tydreeks model vir bepaalde realisasies om uiteindelik te produseer handel seine. Byna al die artikels wat ek skryf oor tydreeksmodelle sal val in hierdie patroon en dit sal ons in staat stel om die verskille tussen elke model maklik vergelyk soos ons verder kompleksiteit te voeg. Op pad was om te begin deur te kyk na 'n streng stasionariteit en die AIC. Streng Skryfbehoeftes Ons verskaf die definisie van stasionariteit in die artikel oor korrelasie. Maar omdat ons gaan betree die gebied van baie finansiële reeks, met verskillende frekwensies, moet ons seker maak dat ons (uiteindelike) modelle in ag neem die tyd wat wissel wisselvalligheid van hierdie reeks. In die besonder, moet ons hul heteroskedasticity oorweeg. Ons sal teëkom hierdie kwessie wanneer ons probeer om sekere modelle te pas om historiese reeks. Oor die algemeen, kan nie al die korrelasie in die residue van toegeruste modelle in berekening gebring word sonder om heteroskedasticity in ag neem. Dit bring ons terug na stasionariteit. 'N Reeks is nie stilstaande in die stryd as dit tyd wisselende wisselvalligheid, per definisie. Dit motiveer 'n grondigere definisie van stasionariteit, naamlik streng stasionariteit: Streng Skryfbehoeftes Series A tydreeksmodel, is streng stilstaande as die gesamentlike statistiese verspreiding van die elemente X, ldots, x is dieselfde as dié van XM, ldots, XM, forall ti, m. 'N Mens kan dink aan hierdie definisie as net dat die verspreiding van die tydreeks is onveranderd vir enige abritrary verskuiwing in die tyd. In die besonder, die gemiddelde en variansie is konstant in die tyd vir 'n streng stilstaande reeks en die outokovariansiefunksie tussen xt en XS (sê) hang net af van die absolute verskil van t en s, t-s. Ons sal weer na streng stilstaande reeks in die toekoms poste. Akaike Inligting Criterion ek reeds in vorige artikels wat ons uiteindelik sal moet kyk hoe om te kies tussen afsonderlike beste modelle. Dit is waar nie net van tydreeksanalise, maar ook van die masjien leer en, meer in die algemeen, statistieke in die algemeen. Die twee belangrikste metodes wat ons sal gebruik (vir die oomblik) is die Akaike Inligting Criterion (AIC) en die Bayesiaanse Inligting Criterion (soos ons vorder verder met ons artikels oor Bayes Statistiek). Wel kortliks kyk na die AIC, want dit sal gebruik word in Deel 2 van die ARMA artikel. AIC is in wese 'n instrument om te help met model seleksie. Dit wil sê, as ons 'n keuse van statistiese modelle (insluitend tydreekse), dan beraam die AIC die gehalte van elke model, in vergelyking met die ander wat ons beskikbaar het. Dit is gebaseer op inligting teorie. Dit is 'n hoogs interessante, diep onderwerp wat ongelukkig kan nie ons in te veel detail oor te gaan. Dit poog om die kompleksiteit van die model, wat in hierdie geval beteken die aantal parameters, met hoe goed dit pas by die data te balanseer. Kom ons 'n definisie: Akaike Inligting Criterion As ons die waarskynlikheid funksie vir 'n statistiese model wat k parameters het, en L maksimeer die waarskynlikheid. dan die Akaike Inligting Criterion word gegee deur: Die voorkeur model, uit 'n seleksie van modelle, het die menie AIC van die groep. Jy kan sien dat die AIC groei as die aantal parameters, k, toeneem, maar verminder indien die negatiewe log-waarskynlikheid toeneem. In wese is dit penaliseer modelle wat overfit is. Ons gaan skep AR, MA en ARMA modelle van verskillende bestellings en een manier om uit te kies die beste model pas 'n spesifieke datastel is om die AIC gebruik. Dit is wat goed doen in die volgende artikel, in die eerste plek vir ARMA modelle. Outoregressiewe (AR) Models van orde p Die eerste model is van plan om te oorweeg, wat die basis van Deel 1 vorm, is die outoregressiewe model van orde p, dikwels verkort tot AR (p). Rasionaal In die vorige artikel beskou ons die ewekansige loop. waar elke term, xt is afhanklik uitsluitlik op die vorige kwartaal, x en 'n stogastiese wit geraas termyn, wel met: Die outoregressiewe model is eenvoudig 'n uitbreiding van die ewekansige loop wat kragtens verder terug in die tyd insluit. Die struktuur van die model is lineêr. dit is die model hang lineêr op die vorige terme, met koëffisiënte vir elke kwartaal. Dit is hier waar die regressiewe kom uit in outoregressiewe. Dit is in wese 'n regressiemodel waar die vorige terme is die voorspellers. Outoregressiewe model van orde p 'n tydreeksmodel, is 'n outoregressiewe model van orde p. AR (p), indien: begin xt alfa1 x ldots alphap x wt som p alphai x wt einde Waar is wit geraas en alphai in mathbb, met alphap neq 0 vir 'n p-orde outoregressiewe proses. As ons kyk na die agterste Shift-operateur. (Sien vorige artikel) dan kan ons herskryf bogenoemde as 'n funksie theta van: begin thetap () xt (1 - alfa1 - alfa2 2 - ldots - alphap) xt wt eindig Miskien is die eerste ding om te sien oor die AR (p) model is dat 'n ewekansige loop is eenvoudig AR (1) met alfa1 gelyk aan eenheid. Soos ons hierbo genoem, die autogressive model is 'n uitbreiding van die ewekansige loop, so dit maak sin Dit is maklik om voorspellings met die AR (p) model te maak, vir enige tyd t, as een keer het ons die alphai koëffisiënte bepaal, ons skatting eenvoudig word: begin hoed t alfa1 x ldots alphap x eindig Vandaar kan ons N-stap vorentoe voorspellings te maak deur die vervaardiging hoed t, hoed, hoed, ens tot hoed. Trouens, as ons kyk na die ARMA modelle in Deel 2, sal ons gebruik maak van die R voorspel funksie om voorspellings te maak (saam met die standaard fout vertrouensinterval bands) wat ons sal help produseer handel seine. Stasionariteit vir outoregressiewe prosesse Een van die belangrikste aspekte van die AR (p) model is dat dit nie altyd stilstaan. Inderdaad die stasionariteit van 'n bepaalde model hang af van die parameters. Ive aangeraak oor hierdie voor in 'n vorige artikel. Ten einde vas te stel of 'n AR (p) proses stilstaan ​​of nie moet ons die karakteristieke vergelyking op te los. Die karakteristieke vergelyking is eenvoudig die outoregressiewe model, wat geskryf is in agtertoe skuif vorm, stel aan nul: Ons los die vergelyking vir. Ten einde vir die betrokke outoregressiewe proses stilstaande te wees moet ons al die absolute waardes van die wortels van hierdie vergelyking om eenheid oorskry. Dit is 'n uiters nuttige eiendom en stel ons in staat om vinnig te bereken of 'n AR (p) proses stilstaan ​​of nie. Kom ons kyk na 'n paar voorbeelde om hierdie idee beton te maak: Random Walk - Die AR (1) proses met alfa1 1 het die karakteristieke vergelyking theta 1 -. Dit is duidelik dat het hierdie wortel 1 en as sodanig is nie stilstaan. AR (1) - As ons kies alfa1 frac kry ons xt frac x wt. Dit gee ons 'n karakteristieke vergelyking van 1 - frac 0, wat 'n wortel 4 GT 1 het en so hierdie spesifieke AR (1) proses stilstaan. AR (2) - As ons 'alfa1 alfa2 frac dan kry ons xt frac x frac x wt. Sy kenmerkende vergelyking - frac () () 0, wat twee wortels van 1 gee, -2. Aangesien dit 'n eenheid wortel is dit 'n nie-stasionêre reeks. Maar ander AR (2) reeks kan stilstaande wees. Tweede Orde Properties Die gemiddelde van 'n AR (p) proses is nul. Tog is die autocovariances en outokorrelasies deur rekursiewe funksies, bekend as die Yule-Walker vergelykings. Die volle eienskappe word hieronder gegee: begin MUX E (xt) 0 einde begin gammak som p alphai gamma, enspace k 0 einde begin rhok som p alphai rho, enspace k 0 einde Let daarop dat dit nodig is om die alphai parameterwaardes weet voor berekening van die outokorrelasies. Nou dat weve gesê die tweede orde eienskappe kan ons die verskillende ordes van AR (p) na te boots en plot die ooreenstemmende correlograms. Simulasies en Correlograms AR (1) Kom ons begin met 'n AR (1) proses. Dit is soortgelyk aan 'n ewekansige loop, behalwe dat alfa1 hoef nie gelyk eenheid. Ons model gaan alfa1 0.6 het. Die R-kode vir die skep van hierdie simulasie is soos volg gegee: Let daarop dat ons vir lus is uit 2-100 gedra, nie 1 tot 100, as xt-1 wanneer t0 is nie geïndekseer. Net so vir hoër orde AR (p) prosesse, moet t wissel van p 100 in hierdie lus. Ons kan die verwesenliking van hierdie model en sy verwante correlogram met behulp van die uitleg funksie plot: Kom nou probeer pas 'n AR (p) proses om die gesimuleerde data weve net gegenereer, om te sien of ons die onderliggende parameters kan herstel. Jy kan onthou dat ons 'n soortgelyke prosedure in die artikel oor wit geraas en ewekansige vlakke uitgevoer. Soos dit blyk uit R bied 'n nuttige opdrag ar om outoregressiemodelle pas. Ons kan hierdie metode gebruik om eerstens vir ons sê die beste orde p van die model (soos bepaal deur die AIC hierbo) en voorsien ons met parameter skattings vir die alphai, wat ons dan kan gebruik om vertrouensintervalle vorm. Vir volledigheid, kan herskep die x-reeks: Nou gebruik ons ​​die ar opdrag om 'n outoregressiewe model inpas by ons gesimuleerde AR (1) proses, met behulp van maksimum annneemlikheidsberaming (MLE) as die gepaste prosedure. Ons sal in die eerste plek te onttrek die beste verkry orde: Die opdrag ar suksesvol bepaal dat ons onderliggende tydreeksmodel is 'n AR (1) proses. Ons kan dan verkry die alphai parameter (s) skattings: Die MLE prosedure 'n skatting, hoed 0,523, wat effens laer as die werklike waarde van alfa1 0.6 geproduseer. Ten slotte, kan ons die standaard fout (met die asimptotiese variansie) te gebruik om 95 vertrouensintervalle bou rondom die onderliggende parameter (s). Om dit te bereik, skep ons net 'n vektor c (-1,96, 1.96) en dan vermenigvuldig dit met die standaard fout: Die ware parameter val binne die 95 vertrouensinterval, soos Sun verwag van die feit weve gegenereer die verwesenliking van die model wat spesifiek . Hoe gaan dit as ons verander die alfa1 -0,6 Soos voorheen kan ons 'n AR (p) model met behulp van ar kan inpas: Weereens herstel ons die korrekte volgorde van die model, met 'n baie goeie skatting hoed -0,597 van alpha1-0.6. Ons sien ook dat die ware parameter binne die 95 vertrouensinterval val weer. AR (2) Kom ons voeg 'n bietjie meer ingewikkeld om ons outoregressiewe prosesse deur simuleer 'n model van orde 2. In die besonder, sal ons alpha10.666 stel, maar ook 'alfa2 -0,333. Hier is die volledige kode na te boots en plot die verwesenliking, asook die correlogram vir so 'n reeks: Soos voorheen kan ons sien dat die correlogram aansienlik verskil van dié van wit geraas, as wed verwag. Daar is statisties beduidende hoogtepunte op K1, K3 en K4. Weereens, gaan die ar opdrag gebruik om 'n AR (p) model inpas by ons onderliggende AR (2) besef. Die prosedure is soortgelyk as vir die AR (1) fiks: Die korrekte volgorde is teruggevind en die parameter skat hoed 0,696 en hoed -0,395 is nie te ver van die ware parameterwaardes van alpha10.666 en alpha2-0.333. Let daarop dat ons 'n konvergensie waarskuwingsboodskap ontvang. Let ook op dat R gebruik eintlik die arima0 funksie om die AR model te bereken. Sowel leer in daaropvolgende artikels, AR (p) modelle is eenvoudig ARIMA (p, 0, 0) modelle, en dus 'n AR-model is 'n spesiale geval van ARIMA met geen bewegende gemiddelde (MA) komponent. Wel ook met behulp van die ARIMA opdrag om vertrouensintervalle rondom verskeie parameters te skep, en dit is waarom weve nagelaat het om dit hier te doen. Nou dat weve geskep sommige gesimuleerde data is dit tyd om die AR (p) modelle van toepassing op finansiële bate tydreekse. Finansiële data Amazon Inc. Lets begin deur die verkryging van die aandele prys vir Amazon (AMZN) met behulp van quantmod as in die laaste artikel: Die eerste taak is om altyd plot die prys vir 'n kort visuele inspeksie. In hierdie geval is goed gebruik van die daaglikse sluitingspryse: Jy sal kennis dat quantmod voeg 'n paar opmaak vir ons, naamlik die datum, en 'n effens mooier grafiek as die gewone R kaarte: Ons gaan nou die logaritmiese opbrengste van AMZN neem en dan die eerste - order verskil van die reeks om die oorspronklike prys reeks omskep van 'n nie-stasionêre reeks tot 'n (potensieel) stilstaande een. Dit stel ons in staat om appels te vergelyk met appels tussen aandele, indekse of enige ander bate, vir gebruik in later meerveranderlike statistiek, soos by die berekening van 'n kovariansiematriks. As jy wil graag 'n gedetailleerde verduideliking van waarom log opbrengste is verkieslik, 'n blik op hierdie artikel oor by Quantivity. Kom ons skep 'n nuwe reeks, amznrt. ons differenced log opbrengste te hou: Weereens, kan ons die reeks Plot: In hierdie stadium wil ons die correlogram plot. Soek om te sien of die differenced reeks lyk soos wit geraas. As dit nie gebeur nie, dan is daar onverklaarbare korrelasie, wat verduidelik kan word deur 'n outoregressiewe model. Ons sien 'n statististically beduidende piek by K2. Daar is dus 'n redelike moontlikheid van onverklaarbare korrelasie. Wees bewus egter dat dit te danke aan monsterneming vooroordeel kan wees. As sodanig, kan ons probeer pas 'n AR (p) model om die reeks en produseer vertrouensintervalle vir die parameters: Pas die ar outoregressiewe model om die eerste orde differenced reeks log pryse produseer 'n AR (2) model, met hoed -0,0278 en hoed -0,0687. Ive ook uitset die aysmptotic variansie sodat ons kan standaardfoute vir die parameters te bereken en te produseer vertrouensintervalle. Ons wil om te sien of nul is deel van die 95 vertrouensinterval, asof dit wil sê, dit ons vertroue dat ons 'n ware onderliggende AR (2) proses vir die AMZN reeks verminder. Om die vertrouensintervalle aan die 95 vlak vir elke parameter bereken, gebruik ons ​​die volgende opdragte. Ons neem die vierkantswortel van die eerste element van die asimptotiese variansie matriks om 'n standaard fout te produseer, dan skep vertrouensintervalle deur dit onderskeidelik deur -1,96 en 1,96 vermenigvuldig, vir die vlak 95: Let daarop dat dit 'meer eenvoudig wanneer die gebruik van die ARIMA funksie , maar ook wag totdat Deel 2 voordat behoorlik bekendstelling daarvan. So kan ons sien dat vir alfa1 nul is vervat in die vertroue interval, terwyl dit vir alfa2 nul is nie vervat in die vertroue interval. Daarom moet ons baie versigtig wees om te dink dat ons regtig 'n onderliggende generatiewe AR (2) model vir AMZN wees. In die besonder ons daarop let dat die outoregressiewe model nie in ag neem wisselvalligheid groepering, wat lei tot die groepering van korrelasie in finansiële tydreekse. Wanneer ons kyk na die boog en GARCH modelle in latere artikels, sal ons rekenskap gee vir hierdie. Wanneer ons by die volle ARIMA funksie gebruik in die volgende artikel sal ons voorspellings van die daaglikse log prys reeks te maak ten einde ons in staat stel om handel seine te skep. SampP500 VSA Equity Index Saam met individuele aandele wat ons kan dit ook oorweeg om die VSA Equity indeks, die SampP500. Eenveranderlike (enkele vektor) ARIMA is 'n vooruitskatting tegniek wat die toekomstige waardes van 'n reeks ten volle gebaseer op sy eie traagheid projekte. Die belangrikste aansoek is op die gebied van korttermyn voorspelling wat ten minste 40 historiese data punte. Dit werk die beste wanneer jou data toon 'n stabiele of konsekwent patroon met verloop van tyd met 'n minimum bedrag van uitskieters. Soms genoem word Posbus-Jenkins (ná die oorspronklike skrywers), ARIMA is gewoonlik beter as gladstrykingstegnieke eksponensiële wanneer die data is redelik lank en die korrelasie tussen die verlede waarnemings is stabiel. As die data is kort of baie volatiel, dan kan 'n paar smoothing metode beter te presteer. As jy nie ten minste 38 datapunte het, moet jy 'n ander metode as ARIMA oorweeg. Die eerste stap in die toepassing van ARIMA metode is om te kyk vir stasionariteit. Stasionariteit impliseer dat die reeks bly op 'n redelik konstante vlak met verloop van tyd. As 'n tendens bestaan, soos in die meeste ekonomiese of besigheid aansoeke, dan is jou data nie stilstaan. Die data moet ook 'n konstante stryd in sy skommelinge oor tyd te wys. Dit is maklik gesien met 'n reeks wat swaar seisoenale en groei teen 'n vinniger tempo. In so 'n geval, sal die wel en wee van die seisoen meer dramaties met verloop van tyd. Sonder hierdie stasionariteit voorwaardes voldoen word, baie van die berekeninge wat verband hou met die proses kan nie bereken word nie. As 'n grafiese plot van die data dui stationariteit, dan moet jy verskil die reeks. Breukmetodes is 'n uitstekende manier om die transformasie van 'n nie-stationaire reeks om 'n stilstaande een. Dit word gedoen deur die aftrekking van die waarneming in die huidige tydperk van die vorige een. As hierdie transformasie slegs een keer gedoen word om 'n reeks, sê jy dat die data het eers differenced. Hierdie proses elimineer wese die tendens as jou reeks groei teen 'n redelik konstante tempo. As dit groei teen 'n vinniger tempo, kan jy dieselfde prosedure en verskil die data weer aansoek doen. Jou data sal dan tweede differenced. Outokorrelasies is numeriese waardes wat aandui hoe 'n data-reeks is wat verband hou met self met verloop van tyd. Meer presies, dit meet hoe sterk datawaardes op 'n bepaalde aantal periodes uitmekaar gekorreleer met mekaar oor tyd. Die aantal periodes uitmekaar is gewoonlik bekend as die lag. Byvoorbeeld, 'n outokorrelasie op lag 1 maatreëls hoe waardes 1 tydperk uitmekaar gekorreleer met mekaar oor die hele reeks. 'N outokorrelasie op lag 2 maatreëls hoe die data twee periodes uitmekaar gekorreleer regdeur die reeks. Outokorrelasies kan wissel van 1 tot -1. 'N Waarde naby aan 1 dui op 'n hoë positiewe korrelasie, terwyl 'n waarde naby aan -1 impliseer 'n hoë negatiewe korrelasie. Hierdie maatreëls is meestal geëvalueer deur middel van grafiese plotte genoem correlagrams. A correlagram plotte die motor - korrelasie waardes vir 'n gegewe reeks by verskillende lags. Dit staan ​​bekend as die outokorrelasie funksie en is baie belangrik in die ARIMA metode. ARIMA metode poog om die bewegings in 'n stilstaande tyd reeks beskryf as 'n funksie van wat is outoregressiewe en bewegende gemiddelde parameters genoem. Dit is waarna verwys word as AR parameters (autoregessive) en MA parameters (bewegende gemiddeldes). 'N AR-model met slegs 1 parameter kan geskryf word as. X (t) 'n (1) X (t-1) E (t) waar x (t) tydreekse wat ondersoek word 'n (1) die outoregressiewe parameter van orde 1 X (t-1) die tydreeks uitgestel 1 periode E (t) die foutterm van die model beteken dit eenvoudig dat enige gegewe waarde X (t) kan verduidelik word deur 'n funksie van sy vorige waarde, X (t-1), plus 'n paar onverklaarbare ewekansige fout, E (t). As die beraamde waarde van A (1) was 0,30, dan is die huidige waarde van die reeks sal wees met betrekking tot 30 van sy waarde 1 periode gelede. Natuurlik, kan die reeks word wat verband hou met meer as net 'n verlede waarde. Byvoorbeeld, X (t) 'n (1) X (t-1) A (2) X (t-2) E (t) Dit dui daarop dat die huidige waarde van die reeks is 'n kombinasie van die twee onmiddellik voorafgaande waardes, X (t-1) en X (t-2), plus 'n paar random fout E (t). Ons model is nou 'n outoregressiewe model van orde 2. bewegende gemiddelde modelle: 'n Tweede tipe Box-Jenkins model is 'n bewegende gemiddelde model genoem. Hoewel hierdie modelle lyk baie soortgelyk aan die AR model, die konsep agter hulle is heel anders. Bewegende gemiddelde parameters verband wat gebeur in tydperk t net om die ewekansige foute wat plaasgevind het in die verlede tyd periodes, naamlik E (t-1), E (t-2), ens, eerder as om X (t-1), X ( t-2), (xt-3) as in die outoregressiewe benaderings. 'N bewegende gemiddelde model met 'n MA termyn kan soos volg geskryf word. X (t) - B (1) E (t-1) E (t) Die term B (1) genoem word 'n MA van orde 1. Die negatiewe teken voor die parameter is slegs vir konvensie en word gewoonlik gedruk uit motor - dateer deur die meeste rekenaarprogramme. Bogenoemde model eenvoudig sê dat enige gegewe waarde van X (t) direk verband hou net aan die ewekansige fout in die vorige tydperk, E (t-1), en die huidige foutterm, E (t). Soos in die geval van outoregressiemodelle, kan die bewegende gemiddelde modelle uitgebrei word na 'n hoër orde strukture wat verskillende kombinasies en bewegende gemiddelde lengtes. ARIMA metode kan ook modelle gebou word dat beide outoregressiewe en gemiddelde parameters saam beweeg inkorporeer. Hierdie modelle word dikwels na verwys as gemengde modelle. Hoewel dit maak vir 'n meer ingewikkelde voorspelling instrument, kan die struktuur inderdaad die reeks beter na te boots en produseer 'n meer akkurate skatting. Suiwer modelle impliseer dat die struktuur bestaan ​​slegs uit AR of MA parameters - nie beide. Die ontwikkel deur hierdie benadering modelle word gewoonlik genoem ARIMA modelle omdat hulle 'n kombinasie van outoregressiewe (AR) te gebruik, integrasie (I) - verwys na die omgekeerde proses van breukmetodes die voorspelling te produseer, en bewegende gemiddelde (MA) operasies. 'N ARIMA model word gewoonlik gestel as ARIMA (p, d, q). Dit verteenwoordig die orde van die outoregressiewe komponente (p), die aantal breukmetodes operateurs (d), en die hoogste orde van die bewegende gemiddelde termyn. Byvoorbeeld, ARIMA (2,1,1) beteken dat jy 'n tweede orde outoregressiewe model met 'n eerste orde bewegende gemiddelde komponent waarvan die reeks is differenced keer om stasionariteit veroorsaak. Pluk die reg spesifikasie: Die grootste probleem in die klassieke Box-Jenkins probeer om te besluit watter ARIMA spesifikasie gebruik - i. e. hoeveel AR en / of MA parameters in te sluit. Dit is wat die grootste deel van Box-Jenkings 1976 is gewy aan die identifikasieproses. Dit was afhanklik van grafiese en numeriese eval - uation van die monster outokorrelasie en gedeeltelike outokorrelasiefunksies. Wel, vir jou basiese modelle, die taak is nie te moeilik. Elk outokorrelasiefunksies dat 'n sekere manier te kyk. Maar wanneer jy optrek in kompleksiteit, die patrone is nie so maklik opgespoor. Om sake nog moeiliker maak, jou data verteenwoordig slegs 'n voorbeeld van die onderliggende proses. Dit beteken dat steekproeffoute (uitskieters, meting fout, ens) die teoretiese identifikasie proses kan verdraai. Let wel: Die konstante eienskap van 'n ARIMA model voorwerp ooreenstem met c. en nie die onvoorwaardelike gemiddelde 956. Deur Wolds ontbinding 1. Vergelyking 5-12 ooreenstem met 'n stilstaande stogastiese proses op voorwaarde dat die koëffisiënte x03C8 Ek is absoluut summable. Dit is die geval wanneer die AR polinoom, x03D5 (L). is stabiel. wat beteken dat al sy wortels lê buite die eenheidsirkel. Daarbenewens het die proses is kousale op voorwaarde dat die MA polinoom is omkeerbaar. wat beteken dat al sy wortels lê buite die eenheidsirkel. Ekonometrie Gereedskap dwing stabiliteit en inverteerbaarheid van ARMA prosesse. Wanneer jy 'n ARMA model spesifiseer met behulp van ARIMA. jy 'n fout as jy koëffisiënte wat nie ooreenstem met 'n stabiele AR polinoom of omkeerbare MA polinoom betree. Net so, skat lê stasionariteit en inverteerbaarheid beperkings tydens beraming. Verwysings 1 Wold, H. 'n studie in die ontleding van tydreekse. Uppsala, Swede: Almqvist amp Wiksell, 1938. Kies jou CountryI is regtig probeer, maar sukkel om te verstaan ​​hoe outoregressiewe en Gemiddelde werk Moving. Dit maak sin.